Induksi Matematika

Induksi Matematika 

raisya windriya xi ips 3

Induksi matematika merupakan salah satu kegiatan penalaran deduktif yang berkaitan dengan pembuktian matematika. Dalam matematika, induksi matematika merupakan sebuah dasar aksioma bagi beberapa teorema yang melibatkan bilangan asli.

Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah :

1. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

2. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.

3. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1 kedalam pernyataan P(k).

Jenis Induksi Matematika

(a). Deret Bilangan

Sebagai ilustrasi dibuktikan secara induksi matematika bahwa 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2}n(n + 1).

  • Langkah 1

untuk n = 1, maka :

1 = \frac{1}{2}n(n + 1)

1 = \frac{1}{2}(1)(1 + 1)

1 = 1

Bentuk untuk n = 1 rumus tersebut benar.

  • Langkah 2

Misal rumus benar untuk n = k, maka:

1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{1}{2}k(k + 1)

  • Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Sehingga:

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = ½ (k + 1)((k + 1) + 1)

Pembuktiannya:

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = ½ k(k + 1) + (k + 1) (dalam langkah 2, kedua ruas ditambah k + 1)

= ½ k (k + 1) +½ [2(k + 1)] . (k + 1) dimodifikasi menyerupai ½ k (k + 1))

= ½[k(k + 1) + 2(k + 1)] (penyederhanaan)

= ½ (k^2 + k + 2k + 2)

= ½ (k^2 + 3k + 2)

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = ½ (k + 1)(k + 2) (terbukti)

(b). Bilangan bulat hasil pembagian

Suatu bilangan dikatakan habis dibagi jika hasil pembagian tersebut adalah bilangan bulat. Sebagai ilustrasi, dibuktikan secara induksi matematika bahwa 5^{2n} + 3n - 1 habis dibagi 9.

  • Langkah 1

untuk n = 1, maka:

5^{2n} + 3n - 1 = 5^{2(1)} + 3(1) - 1

=5^2 + 3 - 1

= 27

27 habis dibagi 9, maka n = 1 benar.


Langkah 2

Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Pembuktian:

5^{2(k + 1)} + 3(k + 1) - 1

= 5^{2k + 2} + 3k + 3 - 1 

= 5^2 (5^2k) + 3k + 3 -1

kemudian (5^{2k}) dimodifikasi dengan memasukan 5^{2k} + 3k - 1.

= 25 (5^{2k} + 3k - 1) - 75k + 25 + 3k + 3 -1

= 25(5^{2k} + 3k -1) - 72k + 27

= 25 (9b) - 72k + 27

= 9 (25b - 8k + 3) … akan habis dibagi oleh 9 (terbukti)


Soal 1

Buktikanlah jika 32n + 22n + 2 benar-benar habis dibagi 5. 

Agar bisa membuktikannya, maka sebaiknya Anda menerapkan beberapa tahapan diantaranya:

Langkah Pertama 

32(1) + 22(1)+2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti.


Langkah Kedua Menggunakan 2 (n = k)

32k + 22k + 2

Langkah Ketiga ( = k + 1)

= 32(k+1) + 22(2k+2) 

= 32k+2 + 22k+2+2

= 32(32k) + 22(22k+2)

= 10(32k) + 5(22k+2) – 32k – 22k+2

= 10 (32k) + 5 (22k+2) – (32k + 22k+2)


Diperoleh:

10 (32k) sudah habis dibagi 5, 5(22k+2) sudah habis dibagi 5 dan –(32k) + 22k+2 juga habis dibagi 5. 

Semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1.

Cari tahu basis induksi terlebih dahulu yaitu 20 = 20+1 – 1. Jadi, sangat jelas bahwa 20 = 1

Jika p(n) benar, yakni 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa p(n+1) juga benar: 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi). 

= (2n+1 + 2n+1) – 1

= (2.2n+1) – 1

= 2n+2 – 1 

= 2(n+1)+1 – 1 

Maka dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1. 

Daftar Pustaka:

1. https://mamikos.com/info/contoh-soal-induksi-matematika-pljr/

2. https://www.studiobelajar.com/induksi-matematika/

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Barisan dan Deret

Gambar
 A.  Baris dan Deret Aritmatika Barisan adalah daftar bilangan yang dituliskan secara berurutan dari kiri ke kanan, di mana ia mempunyai pola atau karakteristik bilangan tertentu. Barisan biasanya disimbolkan dengan Un; Sedangkan deret adalah penjumlahan dari suku-suku yang ada di dalam suatu barisan tertentu. Deret ini biasanya disimbolkan dengan Sn; Kemudian aritmetika adalah ilmu berhitung dasar yang mencakup penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, yang ada di dalam cabang ilmu pengetahuan matematika. Psstt, inget lho, ejaan yang benar itu ‘aritmetika’, bukan ‘aritmatika’. Rumus : a a+b  a+2b a+3b Lebih lanjut, selisih antara nilai suku-suku saling berdekatan dan selalu sama, yaitu b. Misalnya: Un – U(n-1) = b Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmetika dengan nilai: b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2 Sementara itu, deret aritmetika adalah suatu penjumlahan antar suku-suku dari sebuah barisan aritmetika. Untuk penjumlahan dari suku-suku pert
Baca selengkapnya

Determinan dan Invers Matriks

Gambar
  Determinan dan Invers Matriks raisya windriya xi ips 3 Determinan dan Invers suatu matriks sangat berguna dalam penerapan matriks. Salah satunya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang bisa kita selesaikan baik menggunakan metode  determinan  atau metode  invers . Metode matriks ini kita pilih karena secara komputasi akan mudah diterapkan, hal ini terjadi karena perhitungan determinan dan invers berlaku secara sistematis dan pasti.  Determinan Matriks           Suatu Matriks mempunyai determinan jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi. Untuk lebih jelasnya mengenai matriks persegi, sobat bisa baca materi " jenis - jenis matriks " . Determinan matriks A bisa ditulis det(A) atau |A|.  Determinan matriks  2 × 2 Misalkan matriks  A = ( a c b d )   det(A) = |A| =  a × d − b × c Untuk menentukan determinan matriks  3 × 3 dapat menggunakan  cara Sarrus  yaitu dua kolom pertama dipindahkan ke sebelah kanan matriksnya  Misalkan matriks  A = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ a 11
Baca selengkapnya
Gambar
 raisya windriya x ips 3 LUAS SEGITIGA DENGAN TRIGONOMETRI, ATURAN SINUS DAN ATURAN COSINUS Aplikasi trigonometri yang sering digunakan dikenal dengan aturan sinus, aturan kosinus, dan luas segitiga. Aturan sinus adalah aturan penting yang berfungsi menghubungkan sisi dan sudut segitiga. Aturan sinus dapat digunakan dalam segitiga apa pun dengan sisi dan sudut berlawanannya diketahui. Sedangkan aturan kosinus menghubungkan ketiga sisi ke satu sudut. Aturan ini digunakan untuk menjelaskan hubungan antara nilai kosinus dan kuadrat panjang sisi pada salah satu sudut segitiga.   Aturan Sinus  dan  Aturan Cosinus  merupakan dua aturan yang menghubungkan panjang sisi dan besar sudut dalam segitiga sembarang dengan menggunakan konsep trigonometri. Sesuai dengan namanya, Aturan Sinus melibatkan fungsi sinus, sama halnya dengan Aturan Cosinus. Selain itu,  luas segitiga ternyata dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan trigonometri , yaitu didasarkan pada besar sudut dan panjang dua sisi yan
Baca selengkapnya